二次函数相关的公式一览

一、 标准形式与一般形式

一般形式

公式: \(y = ax^2 + bx + c\)

说明: \(a, b, c\) 为常数，且 \(a \neq 0\)。

\(c\) 是\(y\)轴截距，即抛物线与\(y\)轴交点的纵坐标 \((0, c)\)。

标准形式（顶点式）

公式: \(y = a(x - h)^2 + k\)

说明:

\(a\) 决定了抛物线的开口方向和宽窄。

\((h, k)\) 是抛物线的顶点坐标。

此形式非常适合快速读取顶点和进行图像变换。

交点式（因式分解式）

公式: \(y = a(x - x_1)(x - x_2)\)

说明:

\(x_1\) 和 \(x_2\) 是抛物线与x轴交点（零点） 的横坐标。

只有当抛物线与\(x\)轴有交点时才能使用此形式。

二、 核心公式与性质

1. 开口方向

由 \(a\) 的符号决定：

\(a > 0\): 抛物线开口向上。

\(a < 0\): 抛物线开口向下。

2. 顶点坐标

顶点是抛物线的最高点或最低点。

公式（由一般形式推导）:
\(V(h, k) = (-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})\)

通常只需计算 \(h = -\frac{b}{2a}\)，然后代入原函数求 \(k = f(h)\) 即可。

标准形式直接读取: \((h, k)\)

3. 对称轴

对称轴是穿过顶点的一条垂直线。

公式: \(x = h = -\frac{b}{2a}\)

4. 判别式与根（零点）

用于判断和求解二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的根。

判别式 \(\Delta\):
\(\Delta = b^2 - 4ac\)

求根公式:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)

根的情况（与x轴交点个数）:

\(\Delta > 0\): 有两个不相等的实根，抛物线与x轴有两个交点。

\(\Delta = 0\): 有两个相等的实根（一个重根），抛物线与x轴有一个交点（相切）。

\(\Delta < 0\): 没有实根（有共轭复根），抛物线与x轴没有交点。

5. 最值

函数的最大值或最小值就是顶点的纵坐标 \(k\)。

开口向上 (\(a > 0\)): 有最小值 \(y_{min} = k\)。

开口向下 (\(a < 0\)): 有最大值 \(y_{max} = k\)。

三、 不同形式之间的转换

从一般式化为标准式（配方法）
\(y = ax^2 + bx + c\)
\(= a(x^2 + frac{b}{a}x) + c\)
\(= a[x^2 + frac{b}{a}x + (frac{b}{2a})^2 - (frac{b}{2a})^2] + c\)
\(= a[(x + frac{b}{2a})^2 - frac{b^2}{4a^2}] + c\)
\(= a(x + frac{b}{2a})^2 - frac{b^2}{4a} + c\)
\(= a(x - h)^2 + k\) 其中 \(h = -frac{b}{2a}\), \(k = frac{4ac - b^2}{4a}\)

从交点式化为一般式
\(y = a(x - x_1)(x - x_2)\)
\(= a[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2]\)
\(= ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2\)

由此可得：\(b = -a(x_1 + x_2)\), \(c = ax_1x_2\)

四、 其他重要关系与公式

韦达定理
若 \(x_1\), \(x_2\) 是方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的两根，则：
\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)
\(x_1 cdot x_2 = \frac{c}{a}\)

抛物线与y轴交点
令 \(x = 0\), 则 \(y = c\)。
交点坐标为 \((0, c)\)。

平移规律
对于标准形式 \(y = a(x - h)^2 + k\):
\(h\) 控制左右平移: "左加右减"
\(y = a(x - 2)^2\) 表示原图像向右平移2个单位。
\(y = a(x + 3)^2\) 表示原图像向左平移3个单位。
\(k\) 控制上下平移: "上加下减"
\(y = a(x)^2 + 5\) 表示原图像向上平移5个单位。
\(y = a(x)^2 - 4\) 表示原图像向下平移4个单位。